[2017년 대진고]

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[1학년 2학기 중간]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: n(A)=30],
[eqn: n(A capB)=20], [eqn: n(B^c )=33]일 때, [eqn: n(A^c capB^c )]의 값은?

②

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 각각의 진리집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]에 대하여
[eqn: P-Q=emptyset], [eqn: Q cupR=U], [eqn: Q capR=emptyset]이 성립한다. 다음의
(가), (나), (다)에 들어갈 단어를 바르게 짝지은 것은?

①

[eqn: circ][eqn: q]는 [eqn: p]이기 위한 (가)조건이다.

[eqn: circ][eqn: simp]는 [eqn: r]이기 위한 (나)조건이다.

[eqn: circ][eqn: p]는 [eqn: simr]이기 위한 (다)조건이다.

	(가)	(나)	(다)
①	필요	필요	충분
②	충분	충분	필요
③	충분	필요	충분
④	필요	충분	필요
⑤	충분	필요	필요

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합이 각각 [eqn: P=left{1,```2,```3,```4,```5 right],
[eqn: Q=left{1,```3,```5,```7right]일 때, 명제 [eqn: p`->`q]가 거짓임을 보이는 모든 반례의 합은?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

집합 [eqn: A=left{1,```2,```3,```4,```5,```6 right]의 공집합이 아닌 부분집합 중 모든 원소의 합이 짝수인 집합의 개수는?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 41]

실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가
[eqn: p:|x+|x||le10], [eqn: q le k]
일 때, 명제 [eqn: simq`->`simp]가 참이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 최솟값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 함수 [eqn: f(x)=x^2 -6x+7], [eqn: g(x)=x+a]의 정의역은 집합 [eqn: X]이고 공역이 실수 전체 집합인 두 함수에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)]일 때, 공집합이 아닌 집합 [eqn: X]의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값은?

① [eqn: -7]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

다음 두 함수
[eqn: f(x)= cases{ -3x+11&```(x ge 3) # 2&```(x<3) }], [eqn: g(x)= { 1} over {2 }x^2 -2]
에 대하여 [eqn: (f circg)(4)+(g circf)(2)]의 값은?

②

① [eqn: -10]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

집합 [eqn: X=left{0,```1,```2,```3,```4,```5right]에 대하여 함수 [eqn: f]가 [eqn: f:X->X]일 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는?

①

(가) [eqn: left{f(0)-1right}left{f(2)-4right}!=0]

(나) [eqn: x_1 inX], [eqn: x_2 inX]에 대하여 [eqn: x_1 !=x_2]이면

[eqn: f(x_1 )!=f(x_2 )]이다.

(다) 함수 [eqn: f]의 치역은 집합 [eqn: X]이다.

① [eqn: 504]	② [eqn: 506]	③ [eqn: 508]

④ [eqn: 510]	⑤ [eqn: 512]

집합 [eqn: X=left{-1,```0,```1right]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수
[eqn: f(x)=ax^2 +bx-1]이 일대일 대응일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a^3 +b^3]의 값은? (단, [eqn: ab<0])

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 7over4]

④ [eqn: 13over4]	⑤ [eqn: 15over8]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: (f circf circf)(x)=f(x)]가 성립하는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f(x)=-x+1]

ㄴ. [eqn: f(x)=x+1]

ㄷ. [eqn: f(x)=-x]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)=|2x-4|+ax-1]
에 대하여 [eqn: f(x)]가 역함수가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

③

① [eqn: a< -1```or```a>1]	② [eqn: a le -1```or```a ge1]

③ [eqn: a< -2```or```a>2]	④ [eqn: a le -2```or```a ge2]

⑤ [eqn: a LEQ -3```or```a GEQ 3]

[eqn: x>-1]일 때, [eqn: x+ {4} over {x+1}]의 최솟값을 [eqn: a], 그때의 [eqn: x]의 값을 [eqn: b]라고 하자. 이때 [eqn: a+b]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합 [eqn: R]에서 [eqn: R]로의 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=ax-3a+1]과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은?

(가) [eqn: -1le x le 1]에서 [eqn: f(x)= sqrt { 1-x^2 }+1]

(나) [eqn: f(x+2)=f(x)]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {6}]	⑤ [eqn: - {1} over {8}]

좌표평면 위의 점 [eqn: (2,```3)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 원점 [eqn: rmO]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 최소가 되도록 하는 기울기 [eqn: m]의 값을 [eqn: alpha], 그때의 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha], [eqn: beta]의 곱 [eqn: alphabeta]의 값은? (단, [eqn: m<0])

③

① [eqn: -32]	② [eqn: -24]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: -12]	⑤ [eqn: -8]

좌표평면에서 함수 [eqn: f(x)= sqrt { - { 1} over { 4} ax+b}]에 대하여 함수
[eqn: y=f(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프가 모두 원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4y+4=0]의 중심을 지날 때, [eqn: f(-3)]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점을 [eqn: rmP], 변 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 선분 [eqn: rmAC]의 연장선과 선분 [eqn: rmPQ]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmD]를 지나고 변 [eqn: rmBC]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmAB]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 선분 [eqn: rmAP]의 길이를 [eqn: x], 선분 [eqn: rmBE]의 길이를 [eqn: y]라 하면 [eqn: y=f(x)(1<x<3)]인 관계식이 성립한다. 좌표평면에서 점 [eqn: (1,```-1)]과 곡선 [eqn: y=f(x)(1<x<3)] 위의 점 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: d]의 최솟값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt { 6}]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2sqrt { 3}]

서술형

함수 [eqn: f(x)= { 1} over { 3}x^2 + { 2} over {3 }(x ge0)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 두 교점 사이의 거리를 구하는 과정을 서술하시오.

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]의 소수 부분을 [eqn: f(x)]라 하고, 집합 [eqn: A]를
[eqn: A=left{`x`left|`f left( { 1} over {x }right)=x,``` { 1} over {4 }<x le { 1} over {3 }right}]
과 같이 정의하자. 집합 [eqn: A]의 원소의 총합을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: 2p+3]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[eqn: a], [eqn: b]가 각각 [eqn: -5] 이상이고, [eqn: 5] 이하의 정수일 때, 함수
[eqn: f(x)=x^2 -|ax^2 -ax+b|]
의 역함수가 존재하도록 하는 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

[2017년 대진고]

[1학년 2학기 중간]

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